Question 1

Evaluate each of the following integrals.

• $${\int_0^{10} t^2 e^{-t^3} \hspace{3pt}dt}$$.
  
  We substitute:
  • $${u = - t^3}$$,
  • $${du = \frac{du}{dt} dt = - 3t^2dt}$$.
  • When $t = 0$, we have $u = - 0^3 = 0$.
  • When $t = 10$, we have $u = - 10^3 = - 1000$.
  So the integral becomes:
  $$\int_0^{10} t^2 e^{-t^3} \hspace{3pt}dt = \int_0^{-1000} e^{u} \hspace{3pt}\frac{-du}{3}$$
  $$= -\frac{1}{3}[e^u]_0^{-1000} = - \frac{1}{3}(e^{-1000} - 1) = \frac{1}{3}(1 - e^{-1000})$$
  $$= 0.333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333$$
  $$3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333$$
  $$3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333$$
  $$3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333$$
  $$3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333$$
  $$3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333316413$$
  $$4703415018107823606350680855436023146690570238754605586871819648648567506.$$

• $${\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos(x)\sin^6(x) \hspace{3pt}dx}$$.
  
  We substitute:
  • $${u = \sin(x)}$$,
  • $${du = \frac{du}{dx}dx = \cos(x) dx}$$.
  • When $x = 0$, we have $u = \cos(0) = 1$.
  • When $x = \frac{\pi}{6}$, we have $u = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
  So the integral becomes:
  $$\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos(x)\sin^6(x) \hspace{3pt}dx = \int_0^{... ...{7}[u^7]_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{7(2^7)} = \frac{1}{7(128)} = \frac{1}{896}.$$

• $${\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin(3x)\hspace{3pt} dx}$$.
  
  We integrate by parts:
  • $u = x$,
  • $${du = \frac{du}{dx} dx = 1 dx = dx}$$,
  • $dv = \sin(3x) dx$,
  • $${v = \int dv = \int \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)}$$.
  Then we have:
  $$\int_0^{\frac{\pi}{6}} x\sin(3x) dx = \int_{x = 0}^{x = \frac{\pi... ... dv = [uv]_{x = 0}^{x = \frac{\pi}{6}} - \int_{x = 0}^{x = \frac{\pi}{6}} v du$$
  $$= - [\frac{x}{3} \cos(3x)]_0^{\frac{\pi}{6}} - \int_0^{\frac{\pi}{6}} -\frac{1}{3}\cos(3x) dx$$
  $$= 0 - 0 + \frac{1}{3} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos(3x) dx = \frac{1}{9}[\sin(3x)]_0^{\frac{\pi}{6}} = - \frac{1}{9}.$$
  Here we used that $\cos(\frac{3\pi}{2}) = \sin(0) = 0$ and $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.